Управление и динамика

В этом приложении собраны модели управления и динамики, используемые на протяжении всей книги. Их гарантии действуют только внутри задекларированной огибающей состояний, актуаторов, возмущений и тайминга.

Как пользоваться этим приложением

Обращайтесь к этому приложению, когда в главах этой книги возникают конкретные узкие места физических систем, границы интерфейсов управления или проектные решения о размерении:

Безопасность и функции барьера управления

Независимый механизм принуждения может проверить предложение обученной политики по ограничению функции барьера управления до исполнения команды. Функция барьера управления (Control Barrier Function, CBF) описывает кандидатное инвариантное множество; ее защита зависит от наблюдаемого состояния, допустимого входа, модели объекта управления и выборочного времени отклика. Потолки момента и запас хода до препятствий могут потребовать отдельных ограничений.

Обозначим состояние системы $x\in \mathcal{X}\subset {\mathbb{R}}^n$, а управляющий вход — $u\in \mathcal{U}\subset {\mathbb{R}}^m$. Предположим, мы определяем безопасное рабочее множество $\mathcal{S}$ как надуровневое множество непрерывно дифференцируемой скалярной функции $h(x)$: $$\mathcal{S}=\{x\in \mathcal{X}\mid h(x)\ge 0\},\partial \mathcal{S}=\{x\in \mathcal{X}\mid h(x)=0\}$$

• $h(x)>0$ когда система находится строго внутри безопасного интерьера.
• $h(x)=0$ на границе безопасного множества.
• $h(x)<0$ когда система нарушает безопасность.

Производные Ли и прямая инвариантность

Прямая инвариантность означает, что траектория, начинающаяся в $\mathcal{S}$, остается там на смоделированном временном интервале. Это утверждение требует начального состояния в $\mathcal{S}$ и допустимого управления в каждом достижимом состоянии.

Для непрерывно дифференцируемого барьера относительной степени один при непрерывном во времени управлении одним достаточным условием является:¹ $$\dot{h}(x,u)\ge -\alpha h(x)$$ где $\alpha >0$ — выбранный коэффициент усиления в ${\text{s}}^{-1}$, а не измеренная полоса пропускания торможения.

Когда $h(x)$ велико, условие допускает некоторое убывание. При $h(x)=0$ оно требует $\dot{h}\ge 0$ в непрерывной модели. Выбранный барьер должен прежде всего закодировать импульс объекта управления и доступное торможение; чистое расстояние нельзя регулировать напрямую моментом в объекте управления второго порядка.

Для аффинной по управлению динамической системы $\dot{x}=f(x)+g(x)u$ производная по времени $\dot{h}$ вычисляется через направленные производные по правилу цепочки (производные Ли): $$\dot{h}(x,u)=\frac{\partial h}{\partial x}\dot{x}=\frac{\partial h}{\partial x}f(x)+\frac{\partial h}{\partial x}g(x)u=L_{f}h(x)+L_{g}h(x)u$$ где $L_{f}h(x)\in \mathbb{R}$ представляет неуправляемый дрейф запаса хода (импульс, гравитация), а $L_{g}h(x)\in {\mathbb{R}}^{1\times m}$ представляет матрицу направленной эффективности управления.

Теорема Нагумо о жизнеспособности и касательные конусы

Геометрической основой инвариантности множеств для динамических систем является теорема Нагумо о жизнеспособности Blanchini, 1999. Пусть $\mathcal{S}\subset {\mathbb{R}}^n$ — непустое замкнутое множество. Конус Булигана (касательный конус) $T_{\mathcal{S}}(x)$ к $\mathcal{S}$ в точке $x\in \mathcal{S}$ определяется как: $$T_{\mathcal{S}}(x)=\left\{v\in {\mathbb{R}}^n|\underset{\tau \to 0^{+}}{\mathrm{liminf}}\frac{\text{dist}(x+\tau v,\mathcal{S})}{\tau }=0\right\}$$ где $\text{dist}(y,\mathcal{S})={\inf }_{z\in \mathcal{S}}\Vert y-z\Vert$. Теорема Нагумо доказывает, что для автономной системы $\dot{x}=f(x)$ с локально липшицевым векторным полем $f$ множество $\mathcal{S}$ инвариантно в прямом смысле тогда и только тогда, когда вектор скорости удовлетворяет условию субтангенциальности: $$f(x)\in T_{\mathcal{S}}(x)\forall x\in \mathcal{S}$$ В интерьере $\text{int}(\mathcal{S})$ $T_{\mathcal{S}}(x)={\mathbb{R}}^n$, так что условие выполняется тривиально. На границе $\partial \mathcal{S}$ гладкого множества, заданного нулевым надуровневым множеством $h(x)$ ($\mathcal{S}=\{x\mid h(x)\ge 0\}$ при $\nabla h(x)\ne 0$), внутренняя нормаль равна $\nabla h(x)$. Касательный конус становится замкнутым полупространством, направленным внутрь или вдоль касательной плоскости безопасного множества: $$T_{\mathcal{S}}(x)=\left\{v\in {\mathbb{R}}^n|\nabla h(x{)}^{\top }v\ge 0\right\}\forall x\in \partial \mathcal{S}$$ Следовательно, система не может выйти из множества тогда и только тогда, когда $\dot{h}(x)=\nabla h(x{)}^{\top }f(x)\ge 0$ всегда, когда $h(x)=0$.

Функции барьера управления Ames et al., 2019 распространяют субтангенциальность Нагумо на управляемые аффинные системы $\dot{x}=f(x)+g(x)u$. Для безопасности должен существовать допустимый вход $u\in \mathcal{U}$ такой, что $f(x)+g(x)u\in T_{\mathcal{S}}(x)$. Вводя скорость затухания расширенного класса ${\mathcal{K}}_{\infty }$ $\alpha (h(x))$, удовлетворяющую $\alpha (0)=0$, неравенство CBF: $$\dot{h}(x,u)=L_{f}h(x)+L_{g}h(x)u\ge -\alpha (h(x))$$ гарантирует, что по мере приближения состояния к границе ($h(x)\to 0$) допустимая скорость затухания сжимается до нуля ($-\alpha (h(x))\to 0$). На границе $h(x)=0$ оно строго принудительно обеспечивает $\dot{h}(x,u)\ge 0$, непосредственно сохраняя инвариант субтангенциальности Нагумо и предотвращая выход траектории в небезопасное множество.

Относительная степень и кинетические врезки остановки

Относительная степень $r$ функции барьера $h(x)$ — это число дифференцирований по времени, после которого управляющий вход $u$ появляется явно: $$L_g{L}_f^{k}h(x)=0\forall k<r-1,\text{and}{L}_g{L}_f^{r-1}h(x)\ne 0$$ Для одномерного сближения с неподвижным препятствием пусть чистый запас хода равен $h_r=D$, скорость сближения $v>0$, а задаваемое ускорение сближения $a_{\mathrm{cmd}}$. Тогда $\dot{D}=-v$ и $\ddot{D}=-a_{\mathrm{cmd}}$. Ускорение входит в чистый запас хода лишь со второй производной, поэтому $h_r$ имеет относительную степень два по отношению к этому входу. Один из подходов использует кинетическую врезку. При одномерном сближении с неподвижным препятствием пусть $D$ — измеренный запас хода, $v>0$ — скорость сближения, а $a_{\text{brake}}>0$ — проверенная нижняя граница доступного тормозного замедления для рабочего состояния. Тогда: $$h_k(D,v)=D-\frac{v^2}{2a_{\text{brake}}},\dot{D}=-v,\dot{v}=a_{\mathrm{cmd}}.$$ Для мгновенно задаваемого ускорения ${\dot{h}}_k=-v-(v/a_{\text{brake}})a_{\mathrm{cmd}}$. Таким образом ${\dot{h}}_k+\gamma h_k\ge 0$ дает аффинное ограничение $a_{\mathrm{cmd}}\le (a_{\text{brake}}/v)(\gamma h_k-v)$ для $v>0$. В неподвижном состоянии используйте отдельное правило пуска и запаса хода. Ошибка состояния, выборка и задержка начала торможения требуют дополнительных запасов хода; одного лишь непрерывного расчета для них недостаточно.

Квадратичная программа минимального вмешательства

Для барьера $h_b$, первая производная которого действительно зависит от $u$, механизм принуждения может выбрать команду возле номинального предложения, соблюдая допустимое множество входов: $$\begin{array}{rl}{u}^{\ast }& =\arg \underset{u\in \mathcal{U}}{\min }\frac{1}{2}\Vert u-u_{\text{nom}}{\Vert }^2\\ & \text{subject to:}{L}_f{h}_b(x)+L_g{h}_b(x)u\ge -\alpha h_b(x),u_{\min }\le u\le u_{\max }\end{array}$$ Записав его полупространство как $a^{\top }u\le b$ с $a=-L_g{h}_b(x{)}^{\top }$ и $b=L_f{h}_b(x)+\alpha h_b(x)$, получаем эту проекцию для одного ограничения, когда $a\ne 0$ и ни одно коробчатое ограничение не активно: $$u^{\ast }=u_{\text{nom}}-{\lambda }^{\ast }a,\text{where }{\lambda }^{\ast }=\max \left(0,\frac{a^{\top }{u}_{\text{nom}}-b}{\Vert a{\Vert }^2}\right)$$ Если допустимое множество непусто и выпукло, строго выпуклая целевая функция имеет единственный минимум. Время отклика решателя и общая задержка диспетчеризации должны быть измерены для выбранной размерности и аппаратуры.

Проверяйте осуществимость до опоры на инвариантность

Формула проекции не решает задачу с коробчатыми ограничениями. Обрезка ее результата постфактум может нарушить $a^{\top }u\le b$. Если ни одна команда не удовлетворяет одновременно барьеру и пределам актуатора, смоделированная инвариантность не может быть сохранена этим фильтром. Отдельно проверенная резервная стратегия все еще может ограничить вред; она не восстанавливает утраченное утверждение о прямой инвариантности. Допуск должен зарезервировать полномочия остановки до того, как состояние достигнет этой границы.

Гладкие траектории и безударная передача

Физическим системам свойственна инерция. Ступенька скорости — это идеальный импульс ускорения; ступенька ускорения — конечная ступенька момента при простой модели инерции. Вызывает ли задаваемый стык резонанс или повреждение, зависит от объекта управления, нагрузки и отклика контроллера.

Аналитические квинтические сплайны

Сегмент траектории в виде квинтического (пятой степени) полинома $\theta (t)$ на временном интервале $t\in [0,T]$ определяется как: $$\theta (t)=a_0+a_{1}t+a_2{t}^2+a_3{t}^3+a_4{t}^4+a_5{t}^5$$ Шесть коэффициентов $[a_0,\dots ,a_5]$ однозначно определяются согласованием шести граничных условий при $t=0$ и $t=T$: $$\theta (0)=q_0,\dot{\theta }(0)={\dot{q}}_0,\ddot{\theta }(0)={\ddot{q}}_0$$ $$\theta (T)=q_1,\dot{\theta }(T)={\dot{q}}_1,\ddot{\theta }(T)={\ddot{q}}_1$$ Решение получающейся линейной системы дает точные аналитические формулы: $$\begin{array}{rl}{a}_0& =q_0\\ a_1& ={\dot{q}}_0\\ a_2& =\frac{1}{2}{\ddot{q}}_0\\ a_3& =\frac{10(q_1-q_0)-(6{\dot{q}}_0+4{\dot{q}}_1)T-(3{\ddot{q}}_0-{\ddot{q}}_1)\frac{T^2}{2}}{T^3}\\ a_4& =\frac{-15(q_1-q_0)+(8{\dot{q}}_0+7{\dot{q}}_1)T+(3{\ddot{q}}_0-2{\ddot{q}}_1)\frac{T^2}{2}}{T^4}\\ a_5& =\frac{6(q_1-q_0)-3({\dot{q}}_0+{\dot{q}}_1)T-({\ddot{q}}_0-{\ddot{q}}_1)\frac{T^2}{2}}{T^5}\end{array}$$ Тройное дифференцирование дает профиль рывка сегмента — квадратичную по времени функцию, остающуюся конечной на конечном сглаживании: $$\stackrel{\dots }{\theta }(t)=6a_3+24a_{4}t+60a_5{t}^2$$ Согласование положения, скорости и ускорения на концах дает $C^2$-стыковку с примыкающими сегментами с теми же конечными значениями и убирает ступеньку задаваемого ускорения на стыке. Конечные условия ничего не говорят о внутренней части сегмента, поэтому его экстремумы рывка и момента, а также резонансный отклик шарнира все еще требуют проверки по измеренным пределам машины. Раздел «Поведение на стыке» помещает этот мост на стык между двумя фрагментами действий.

Матричная постановка краевой задачи

Коэффициенты полинома $\mathbf{a}=[a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5{]}^{\top }$ определяются вычислением траектории и ее двух первых производных на временных концах $t=0$ и $t=T$. Это дает линейную систему $6\times 6$ с конфлюэнтной матрицей Вандермонда $\mathbf{Ma}=\mathbf{b}$: $$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0& 0& 0\\ 1& T& T^2& T^3& T^4& T^5\\ 0& 1& 2T& 3T^2& 4T^3& 5T^4\\ 0& 0& 2& 6T& 12T^2& 20T^3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\\ a_3\\ a_4\\ a_5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{q}_0\\ {\dot{q}}_0\\ {\ddot{q}}_0\\ q_1\\ {\dot{q}}_1\\ {\ddot{q}}_1\end{array}\right]$$ Три верхние строки тривиально дают начальные граничные слагаемые: $a_0=q_0$, $a_1={\dot{q}}_0$ и $a_2=\frac{1}{2}{\ddot{q}}_0$. Подстановка этих значений в три нижние строки выделяет коэффициенты высших порядков $[a_3,a_4,a_5{]}^{\top }$ в приведенной системе $3\times 3$: $$\left[\begin{array}{ccc}{T}^3& T^4& T^5\\ 3T^2& 4T^3& 5T^4\\ 6T& 12T^2& 20T^3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_3\\ a_4\\ a_5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{q}_1-q_0-{\dot{q}}_{0}T-\frac{1}{2}{\ddot{q}}_0{T}^2\\ {\dot{q}}_1-{\dot{q}}_0-{\ddot{q}}_{0}T\\ {\ddot{q}}_1-{\ddot{q}}_0\end{array}\right]$$ Определитель этой матрицы $3\times 3$ равен $\det ({\mathbf{M}}_{33})=2T^9>0$ для всех строго положительных горизонтов сглаживания $T>0$, что гарантирует невырожденность и единственность. Аналитическая обратная матрица: $${\left[\begin{array}{ccc}{T}^3& T^4& T^5\\ 3T^2& 4T^3& 5T^4\\ 6T& 12T^2& 20T^3\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{10}{T^3}& -\frac{4}{T^2}& \frac{1}{2T}\\ -\frac{15}{T^4}& \frac{7}{T^3}& -\frac{1}{T^2}\\ \frac{6}{T^5}& -\frac{3}{T^4}& \frac{1}{2T^3}\end{array}\right]$$ Умножение матриц ${\mathbf{a}}_{3:5}={\mathbf{M}}_{33}^{-1}{\mathbf{b}}_{\text{red}}$ непосредственно дает коэффициенты в замкнутой форме $a_3,a_4,a_5$, приведенные выше.

Кубическая интерполяция сплайном Эрмита для синхронизации разнородных частот

При синхронизации физических потоков датчиков и состояний, приходящих с разнородными частотами (таких как кадры камеры на 30 Гц против траекторий энкодеров шарниров на 1 кГц), промежуточные позы должны непрерывно интерполироваться с сохранением непрерывности скорости. Кубический сплайн Эрмита на интервале $t\in [t_0,t_1]$ с длительностью сегмента $T=t_1-t_0$ интерполирует положение и скорость между концами: $$q(t_0)=q_0,\dot{q}(t_0)={\dot{q}}_0,q(t_1)=q_1,\dot{q}(t_1)={\dot{q}}_1$$

Вводя нормированную временную координату $s=(t-t_0)/T\in [0,1]$, параметризуем траекторию базисными полиномами кубического Эрмита: $$q(s)=h_{00}(s)q_0+h_{10}(s)T{\dot{q}}_0+h_{01}(s)q_1+h_{11}(s)T{\dot{q}}_1$$ где базисные функции удовлетворяют: $$\begin{array}{rl}{h}_{00}(s)& =2s^3-3s^2+1\\ h_{10}(s)& =s^3-2s^2+s\\ h_{01}(s)& =-2s^3+3s^2\\ h_{11}(s)& =s^3-s^2\end{array}$$ Дифференцирование по физическому времени $t$ дает мгновенную скорость: $$\dot{q}(t)=\frac{1}{T}\frac{dq}{ds}=\frac{1}{T}\left(h_{00}^{\prime }(s)q_0+h_{01}^{\prime }(s)q_1\right)+h_{10}^{\prime }(s){\dot{q}}_0+h_{11}^{\prime }(s){\dot{q}}_1$$ с базисными функциями производных: $$\begin{array}{rl}{h}_{00}^{\prime }(s)& =6s^2-6s\\ h_{10}^{\prime }(s)& =3s^2-4s+1\\ h_{01}^{\prime }(s)& =-6s^2+6s\\ h_{11}^{\prime }(s)& =3s^2-2s\end{array}$$ Поскольку базисные полиномы удовлетворяют $h_{00}(0)=1,h_{00}(1)=0,h_{10}^{\prime }(0)=1,h_{10}^{\prime }(1)=0$, это дает $C^1$-непрерывную траекторию, точно согласующую положение и скорость на границах выборок без вычислительных накладных расходов решения квинтической системы с шестью граничными условиями. Впрочем, результирующее ускорение $\ddot{q}(t)$ кусочно линейно и разрывно на границах выборок ($C^1$, но не $C^2$), порождая конечные ступеньки момента $\Delta \tau =M(q)\Delta \ddot{q}$ в узловых точках, которые должны оставаться в пределах допустимой скорости изменения момента актуатора.

Безударная передача и сглаживание

Для безударной передачи (раздел «Передача без разрыва») положим $s=(t-t_0)/{\tau }_{\text{blend}}\in [0,1]$ и используем $C^2$-сглаживание $\alpha (s)$ для интерполяции двух команд: $$\alpha (s)=6s^5-15s^4+10s^3,u(t)=(1-\alpha (s))u_{\mathrm{prior}}(t)+\alpha (s)u_{\mathrm{new}}(t).$$ Первая и вторая производные $\alpha$ на концах обращаются в нуль. Если $u$ — задаваемое ускорение, его производная по времени есть рывок задаваемого ускорения: $$j_{\mathrm{cmd}}(t)=\frac{{\alpha }^{\prime }(s)}{{\tau }_{\text{blend}}}(u_{\mathrm{new}}-u_{\mathrm{prior}})+(1-\alpha (s)){\dot{u}}_{\mathrm{prior}}+\alpha (s){\dot{u}}_{\mathrm{new}}.$$ Здесь ${\alpha }^{\prime }(s)=30s^2(1-s{)}^2$ дифференцируется по нормированному времени и достигает пика $1.875$. Только для двух фиксированных, защелкнутых конечных ускорений (${\dot{u}}_{\mathrm{prior}}={\dot{u}}_{\mathrm{new}}=0$) вклад смешивания удовлетворяет $$\max |j_{\mathrm{cmd}}|=\frac{1.875|\Delta u|}{{\tau }_{\text{blend}}},{\tau }_{\text{blend}}\ge \frac{1.875|\Delta u|}{j_{\mathrm{allowable}}}.$$ Это условие на скорость команды. Измеренный рывок объекта управления, ошибка слежения и доступный запас хода для остановки остаются отдельными проверками допуска.

Динамика гибких шарниров и сингулярные возмущения

Механические передачи, такие как волновые приводы, планетарные редукторы и тросовые механизмы, вносят крутильную упругость между роторами двигателей актуаторов и звеньями робота. Следуя канонической формулировке Mark W. Spong Spong, 1987, манипулятор с $n$ степенями свободы и упругими шарнирами описывается двумя связанными векторными дифференциальными уравнениями второго порядка: $$\mathbf{M}(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}}+\mathbf{C}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}}+\mathbf{g}(\mathbf{q})=\mathbf{K}(\mathbf{\theta }-\mathbf{q})$$ $${\mathbf{J}}_m\ddot{\mathbf{\theta }}+{\mathbf{B}}_m\dot{\mathbf{\theta }}+\mathbf{K}(\mathbf{\theta }-\mathbf{q})=\mathbf{\tau }$$ где:

• $\mathbf{q}\in {\mathbb{R}}^n$ представляет физические координаты звеньев.
• $\mathbf{\theta }\in {\mathbb{R}}^n$ представляет координаты роторов двигателей, приведенные через передаточное отношение $N$ к стороне звена.
• $\mathbf{M}(\mathbf{q})\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ — симметричная положительно определенная матрица инерции звеньев.
• $\mathbf{C}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}}\in {\mathbb{R}}^n$ собирает члены Кориолиса и центростремительные члены.
• $\mathbf{g}(\mathbf{q})\in {\mathbb{R}}^n$ — вектор гравитационных моментов.
• ${\mathbf{J}}_m=\mathrm{diag}(J_{m,1},\dots ,J_{m,n})$ — диагональная матрица приведенных инерций роторов ($J_{m,i}=N_i^2{J}_{\text{rotor},i}$).
• ${\mathbf{B}}_m=\mathrm{diag}(B_{m,1},\dots ,B_{m,n})$ собирает вязкое демпфирование двигателей.
• $\mathbf{K}=\mathrm{diag}(k_1,\dots ,k_n)$ — диагональная матрица крутильной жесткости шарниров ($k_i>0$).
• $\mathbf{\tau }\in {\mathbb{R}}^n$ — вектор электромагнитных моментов актуаторов, подаваемых на ротор.

Сингулярная возмущенная постановка и разделение временных масштабов

Когда жесткость шарниров высока относительно инерции звеньев ($k_i\gg 1$), система обнаруживает разделение двух временных масштабов между медленной динамикой твердого тела и быстрыми крутильными колебаниями. Определим скалярный параметр возмущения $ϵ=1/\sqrt{k_{\min }}$, где $k_{\min }={\min }_i(k_i)$, и выразим жесткость как $\mathbf{K}=(1/{ϵ}^2)\tilde{\mathbf{K}}$ с $\tilde{\mathbf{K}}=\mathcal{O}(1)$.

Определим быструю переменную состояния упругого момента $\mathbf{z}\in {\mathbb{R}}^n$: $$\mathbf{z}=\frac{1}{{ϵ}^2}\tilde{\mathbf{K}}(\mathbf{\theta }-\mathbf{q})=\mathbf{K}(\mathbf{\theta }-\mathbf{q})$$ Двойное дифференцирование $\mathbf{z}$ по непрерывному времени $t$ дает: $$\ddot{\mathbf{z}}=\mathbf{K}(\ddot{\mathbf{\theta }}-\ddot{\mathbf{q}})=\mathbf{K}\left[{\mathbf{J}}_m^{-1}(\mathbf{\tau }-{\mathbf{B}}_m\dot{\mathbf{\theta }}-\mathbf{z})-\mathbf{M}(\mathbf{q}{)}^{-1}(\mathbf{z}-\mathbf{C}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}}-\mathbf{g}(\mathbf{q}))\right]$$ Умножение на ${ϵ}^2$ обнаруживает сингулярно возмущенный граничный слой: $${ϵ}^2\ddot{\mathbf{z}}=\tilde{\mathbf{K}}\left[{\mathbf{J}}_m^{-1}\mathbf{\tau }-({\mathbf{J}}_m^{-1}+\mathbf{M}(\mathbf{q}{)}^{-1})\mathbf{z}+\mathbf{M}(\mathbf{q}{)}^{-1}(\mathbf{C}\dot{\mathbf{q}}+\mathbf{g})-{\mathbf{J}}_m^{-1}{\mathbf{B}}_m\dot{\mathbf{\theta }}\right]$$ Вводя растянутую быструю временную переменную ${\tau }_{\text{fast}}=t/ϵ$, преобразуем упругую динамику к виду: $$\frac{d^2\mathbf{z}}{d{\tau }_{\text{fast}}^2}+\tilde{\mathbf{K}}({\mathbf{J}}_m^{-1}+\mathbf{M}(\mathbf{q}{)}^{-1})\mathbf{z}=\tilde{\mathbf{K}}{\mathbf{J}}_m^{-1}\mathbf{\tau }+\tilde{\mathbf{K}}\mathbf{M}(\mathbf{q}{)}^{-1}(\mathbf{C}\dot{\mathbf{q}}+\mathbf{g})$$

Жесткое многообразие и резонанс граничного слоя

В сингулярном пределе, когда жесткость шарниров стремится к бесконечности ($ϵ\to 0$), быстрая упругая переменная $\mathbf{z}$ алгебраически схлопывается на квазистационарное многообразие ${\mathbf{z}}_0$: $${\mathbf{z}}_0=({\mathbf{J}}_m^{-1}+\mathbf{M}(\mathbf{q}{)}^{-1}{)}^{-1}\left[{\mathbf{J}}_m^{-1}\mathbf{\tau }+\mathbf{M}(\mathbf{q}{)}^{-1}(\mathbf{C}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}}+\mathbf{g}(\mathbf{q}))\right]$$ Подстановка ${\mathbf{z}}_0$ в динамику звеньев восстанавливает классические уравнения твердого тела с агрегированной инерцией $\mathbf{M}(\mathbf{q})+{\mathbf{J}}_m$: $$(\mathbf{M}(\mathbf{q})+{\mathbf{J}}_m)\ddot{\mathbf{q}}+\mathbf{C}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}}+\mathbf{g}(\mathbf{q})+{\mathbf{B}}_m\dot{\mathbf{q}}=\mathbf{\tau }$$ При конечной физической жесткости ($ϵ>0$) любое высокочастотное возбуждение в задаваемом моменте $\mathbf{\tau }$ — такое как разрывные ступеньки момента, порождаемые обученными нейронными политиками на дискретных интервалах инференса, — действует как импульсная вынуждающая функция на осциллятор граничного слоя $\frac{d^2\mathbf{z}}{d{\tau }_{\text{fast}}^2}+{\mathbf{\Omega }}^2(\mathbf{q})\mathbf{z}=0$, где матрица собственной частоты структурного резонанса равна: $$\mathbf{\Omega }(\mathbf{q})=\sqrt{\mathbf{K}({\mathbf{J}}_m^{-1}+\mathbf{M}(\mathbf{q}{)}^{-1})}$$ Поскольку механическое демпфирование передачи минимально ($\zeta <0.05$), несглаженные ступенчатые команды возбуждают устойчивый дребезг предельного цикла, ускоряют микроусталость зубьев передачи и обесценивают допущения о жестких звеньях. Принудительное обеспечение квинтической сплайн-интерполяции $C^2$ и ограничение скорости нарастания момента ($d\mathbf{\tau }/dt$) необходимы, чтобы предотвратить ввод энергии в это быстрое многообразие граничного слоя.

Дискретная выборка и фазовое запаздывание нулевого порядка

Цифровые контроллеры реального времени выполняются периодически с периодом выборки $T_s=1/f_s$. Драйверы актуаторов удерживают задаваемые задания постоянными между тактами часов с помощью удержания нулевого порядка (Zero-Order Hold, ZOH).

На частотах значительно ниже частоты выборки фаза удержания нулевого порядка эквивалентна задержке примерно в полпериода выборки: $${\tau }_{\text{ZOH}}=\frac{T_s}{2}$$ Для системы замкнутого контура, работающей на частоте среза ${\omega }_c$, эта транспортная задержка разъедает запас по фазе ${\Phi }_m$ системы на:² $$\Delta \Phi ={\omega }_c\frac{T_s}{2}\text{(radians)}\approx 28.65^{\circ }\cdot \left(\frac{{\omega }_c}{f_s}\right)$$

Для фиксированных смоделированных задержек вычислений и шины добавочное фазовое запаздывание возле частоты среза приблизительно равно $\Delta {\Phi }_{\mathrm{total}}={\omega }_c({\tau }_{\mathrm{comp}}+{\tau }_{\mathrm{bus}}+T_s/2)$. Контроллер должен валидировать запас по фазе на измеренной задержке и рабочей огибающей; сама формула не предсказывает конкретный контактный отклик.

Кинематическая достижимость и огибающие намерения

Кинематическая достижимость характеризует пространственное множество конфигураций или поз рабочего органа, которых воплощенная система может достичь за заданный горизонт планирования или намерения $\tau$.

Прямая кинематика и сингулярности

Для манипулятора с $n$ шарнирами отображение прямой кинематики $f(q)$ отправляет координаты шарниров $q\in {\mathbb{R}}^n$ в позу рабочего органа $T_{WE}\in SE(3)$: $$T_{WE}=f(q).$$ В задекларированном соглашении о пространственной или связанной вращательно-поступательной скорости якобиан манипулятора $J(q)\in {\mathbb{R}}^{6\times n}$ связывает скорости шарниров с шестикомпонентной вращательно-поступательной скоростью рабочего органа $V_E$: $$V_E=J(q)\dot{q}.$$ Для шестимерной задачи и $n\ge 6$ потеря ранга ($\det (J{J}^{\top })=0$) отмечает кинематическую сингулярность. Слежение за ненулевой вращательно-поступательной скоростью вдоль утраченного направления потребовало бы неограниченных скоростей шарниров в идеальной обратной модели; реальные актуаторы насыщаются раньше. Проектное решение под конкретную задачу может следить за $w(q)=\sqrt{\det (J{J}^{\top })}$ относительно проверенного порога.³

Время прохода траектории и достижимое расстояние

Для одномерного перемещения из покоя в покой с симметричным доступным ускорением $a_{\max }$ и потолком скорости $v_{\max }$ кратчайший номинальный проход имеет два режима:

1. Треугольный профиль (ограничен ускорением): для коротких горизонтов, когда пиковая скорость $v_{\max }$ не достигается ($d\le d_{\text{crit}}=v_{\max }^2/a_{\max }$): $$t_{\min }=2\sqrt{\frac{d}{a_{\max }}},d_{\text{reach}}(\tau )=\frac{1}{4}{a}_{\max }{\tau }^2$$
2. Трапециевидный профиль (ограничен скоростью): для больших горизонтов ($d>d_{\text{crit}}$): $$t_{\min }=\frac{d}{v_{\max }}+\frac{v_{\max }}{a_{\max }},d_{\text{reach}}(\tau )=v_{\max }\left(\tau -\frac{v_{\max }}{a_{\max }}\right)$$

Ниже $d_{\text{crit}}$ достижимое расстояние растет как квадрат доступного времени, а выше — лишь линейно, потому что механизм проводит остаток перемещения на потолке скорости.

При $|\dot{a}|\le j_{\max }$ выход на полное ускорение с нуля занимает по крайней мере $a_{\max }/j_{\max }$ — если профиль вообще его достигает. Граница существует, потому что ступенька ускорения — это ступенька момента, которая бьет по люфту редуктора, возбуждает конструктивные моды и устремляет ток двигателя к пределам отказа инвертора. Траектория минимального времени может иметь четыре или семь фаз рывка, поэтому безусловная аддитивная поправка к трапециевидному времени недействительна. Решите ограниченный профиль для заданных начальной и конечной скоростей и ускорений, затем включите стоп-суффикс и задержку отклика при размерении аренды.

Идеализированные профили все еще служат допуску, ибо каждое добавочное ограничение (рывок, момент или термическое снижение номинала) может лишь ужать динамическое множество достижимости $\mathcal{R}(\tau )$ — состояния, достижимые из измеренного состояния за оставшееся время $\tau =t_{\text{exp}}-t_{\text{now}}$. Их времена прохода суть поэтому необходимые нижние границы, и предложение, чье идеализированное время уже превышает $\tau$, может быть отвергнуто до полной проверки пути, момента и остановки. Раздел «Допустимые множества целей» применяет этот отказ к досягаемости руки относительно отслеживаемого горизонта.

Пространственные системы координат и кинематика плеча

Поза твердого тела в трехмерном пространстве параметризуется специальной евклидовой группой $SE(3)$. Жесткое преобразование из системы координат $B$ в систему $A$ представляется однородной матрицей преобразования ${\mathbf{T}}_{AB}\in SE(3)$: $${\mathbf{T}}_{AB}=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{R}}_{AB}& {\mathbf{p}}_{AB}\\ 0^{\top }& 1\end{array}\right],{\mathbf{R}}_{AB}\in SO(3),{\mathbf{p}}_{AB}\in {\mathbb{R}}^3$$ Когда датчики — такие как IMU или камеры — смещены от центра вращения тела на плечо ${\mathbf{r}}_{P/O}$, вращательное движение индуцирует кажущиеся скорости и ускорения в точке расположения датчика $P$. Линейная скорость ${\mathbf{v}}_P$ и линейное ускорение ${\mathbf{a}}_P$ удовлетворяют: $${\mathbf{v}}_P={\mathbf{v}}_O+\mathbf{\omega }\times {\mathbf{r}}_{P/O}$$ $${\mathbf{a}}_P={\mathbf{a}}_O+\mathbf{\alpha }\times {\mathbf{r}}_{P/O}+\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times {\mathbf{r}}_{P/O})$$ где $\mathbf{\omega }$ — угловая скорость тела, $\mathbf{\alpha }=\dot{\mathbf{\omega }}$ — угловое ускорение, $\mathbf{\alpha }\times \mathbf{r}$ — тангенциальное ускорение, а $\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times \mathbf{r})$ — центростремительное ускорение. Оценка состояния и конвейеры восприятия должны компенсировать эти кинематические члены плеча при синхронизации внешних параметров нескольких камер и слиянии данных IMU.

Аренды действительности сторожевого таймера и границы задержки телеуправления

В распределенных автономных системах и архитектурах супервизорного телеуправления полномочия исполнения команды управляются арендами действительности ограниченной длительности и ограничениями задержки связи.

Кинематический вывод аренд действительности сторожевого таймера

Рассмотрим автономную мобильную платформу или манипулятор, движущиеся со скоростью $v$ к препятствию с измеренным физическим свободным расстоянием $D_{\text{clear}}$. Если хост-процессор или нейронная сеть не обновляют задание управления, аппаратный или прошивочный сторожевой таймер обязан вмешаться, чтобы предотвратить нарушение границы.

Полное истекшее время от сенсорного наблюдения до начала физического торможения складывается из пяти последовательных интервалов: $${\tau }_{\text{delay}}=T_{\text{lease}}+T_{\text{detect}}+T_{\text{hold}}+t_{\text{age}}+T_{\text{act}}$$ где:

• $T_{\text{lease}}$ — предоставленная длительность, в течение которой предложение политики остается действительным для исполнения.
• $T_{\text{detect}}$ — задержка обнаружения отсчета сторожевого таймера до распознавания потери сигнала живости.
• $T_{\text{hold}}$ — необязательное переходное удержание или окно подавления дребезга для подтверждения отказа.
• $t_{\text{age}}$ — возраст сенсорных свидетельств (экспозиция, считывание и транзит по шине к часам контроллера).
• $T_{\text{act}}$ — физическая задержка срабатывания актуатора до достижения тормозным замедлением задаваемого нижнего предела.

При постоянной крейсерской скорости $v$ до начала торможения, проверенной нижней границе механического тормозного замедления $a_{\text{brake}}>0$, границе локализации ${\delta }_{\text{loc}}$ и фиксированном защитном запасе ${\delta }_{\text{margin}}$ полный остановочный путь, ограниченный доступным свободным расстоянием $D_{\text{clear}}$, удовлетворяет: $$v{\tau }_{\text{delay}}+\frac{v^2}{2a_{\text{brake}}}+{\delta }_{\text{loc}}+{\delta }_{\text{margin}}\le D_{\text{clear}}$$ Прямое решение относительно максимально допустимой аренды действительности $T_{\text{lease}}$ дает: $$T_{\text{lease}}\le \frac{D_{\text{clear}}-{\delta }_{\text{loc}}-{\delta }_{\text{margin}}-\frac{v^2}{2a_{\text{brake}}}}{v}-\left(T_{\text{detect}}+T_{\text{hold}}+t_{\text{age}}+T_{\text{act}}\right)$$ Если $T_{\text{lease}}\le 0$, скорость платформы превышает ее остановочный запас для текущего свободного расстояния, и механизм принуждения реального времени обязан немедленно отозвать разрешение движения и выполнить проверенную аварийную остановку.

Границы времени туда-обратно сети телеуправления

Когда человек-супервизор дистанционно управляет роботом через внешний беспроводной канал, контур управления включает задержку человеческой перцептивной реакции и транспортные задержки сетевых пакетов. Обозначим:

• $T_{\text{video}}$ — экспозиция видеокамеры, кодирование, нисходящий канал сети и задержка дисплея оператора.
• $T_{\text{human}}$ — время человеческой нервно-мышечной реакции ($T_{\text{human}}\approx 150\text{–}250\text{ ms}$).
• $T_{\text{RTT}}=T_{\text{downlink}}+T_{\text{uplink}}$ — транспортная задержка сети туда-обратно.
• $T_{\text{act}}$ — запаздывание включения торможения актуатора.
• $d_{\text{brake}}=\frac{v^2}{2a_{\text{brake}}}$ — чисто механический тормозной путь.

Полное доступное время до исчерпания свободного расстояния $D_{\text{clear}}$ ограничено величиной $T_{\text{total}}=(D_{\text{clear}}-d_{\text{brake}})/v$. Допустимый потолок сетевой задержки туда-обратно: $$T_{\text{RTT}}\le \frac{D_{\text{clear}}-d_{\text{brake}}}{v}-\left(T_{\text{video}}+T_{\text{human}}+T_{\text{act}}\right)$$ Если дрожание сети выталкивает $T_{\text{RTT}}$ за эту границу, человеческий оператор не может заметить препятствие и выдать корректирующую команду до того, как машина исчерпает свой остановочный путь. Следовательно, локальный механизм принуждения реального времени обязан независимо оценивать физические инварианты на $1\text{ kHz}$, отзывая командные полномочия оператора и исполняя автономное торможение до потери физического свободного расстояния. Раздел «Человеческие полномочия над исполнением команды» использует эту границу для размерения передачи, где круговой путь оператора расходует тот же бюджет до торможения.

Кинодинамические границы против пассивности волновых переменных

Транспортная задержка в телеуправлении создает два различных режима отказа: нарушение пространственной границы (кинематическое столкновение) и высокочастотный динамический дребезг (утрата пассивности замкнутого контура). Хотя волновые переменные (раздел «Пассивность и энергетически ограниченное взаимодействие») сохраняют пассивность порта и предотвращают накопление энергии при задержке, пассивность гарантирует лишь то, что телеуправляемое устройство не станет активным источником энергии. Она не ограничивает физическое смещение. Безопасность требует одновременного выполнения обоих инвариантов: волновые переменные ограничивают энергию интерактивного контакта, тогда как кинодинамическое неравенство задержки гарантирует свободное от столкновений пространственное расстояние.

Механика контакта твердых тел

Моделирование и управление физическим взаимодействием — таким как локомоция, ловкое захватывание и сборка инструментом — требует моделирования механического контакта. Определяющий физический вызов контакта — его негладкая дополнительность: силы взаимодействия возникают строго тогда, когда тела устанавливают физический контакт.

Пусть $\varphi (q)$ — знаковое расстояние между двумя телами:

• $\varphi (q)>0$: тела разведены.
• $\varphi (q)=0$: тела соприкасаются.
• $\varphi (q)<0$: тела проникают друг в друга (геометрическое взаимопроникновение, которое жесткая механика строго запрещает).

Пусть $f_n$ — нормальная контактная сила, раздвигающая тела:

• Если $\varphi (q)>0$, контакта нет, поэтому $f_n=0$.
• Если тела соприкасаются, они могут оказывать лишь отталкивающую контактную силу, поэтому $f_n\ge 0$.

Идеальный односторонний контакт представляется условиями дополнительности:

1. Непроникновение: $\varphi (q)\ge 0$
2. Односторонняя сила: $f_n\ge 0$
3. Дополнительность: $\varphi (q)f_n=0$

Эти условия исключают растягивающий нормальный контакт. Задача жесткого контакта, дискретизированная по времени, становится линейной задачей дополнительности лишь при подходящих допущениях линеаризации и контакта; контактные модели с трением могут быть нелинейными или требовать иных решателей. Сами по себе они не устанавливают достоверность sim-to-real.

Негладкие многообразия столкновений и скачки скорости

Для лишенного трения нормального удара о неподвижную жесткую плоскость пусть $v_n^{-}<0$ — нормальная скорость до удара, а $e\in [0,1]$ — коэффициент восстановления. Нормальная компонента подчиняется $v_n^{+}=-e{v}_n^{-}$; тангенциальная скорость и движущаяся граница требуют дополнительных уравнений. При эффективной нормальной массе $m_{\mathrm{eff}}$ нормальный импульс равен $P_n=m_{\mathrm{eff}}(v_n^{+}-v_n^{-})$. В идеальном ударе нулевой длительности скорость скачет, а ускорение является импульсом, а не обычной конечной производной:⁴ $$\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Vert \dot{x}(t+\Delta t)-\dot{x}(t)\Vert }{\Delta t}=\infty$$

Гладкие обученные модели и градиенты траекторий могут быть неточны на сменах контактных режимов. Контроллер может использовать явную гибридную/контактную модель, тогда как податливость, накладки или ограничители момента могут снижать силу лишь в пределах проверенных условий хода, энергии, износа и силовой цепи. Ни моделирование, ни пассивный элемент поодиночке не гарантируют безопасный контакт.

Упругодинамическая ударная сила и деформация податливости

Когда эффективная движущаяся масса $m_{\mathrm{eff}}$ ударяется о препятствие или ткань человека, приближения твердого тела разрушаются, ибо реальные материалы деформируются упруго на ненулевом ходе сжатия $\delta (t)$. Обозначим $k_{\mathrm{eff}}$ эффективную жесткость контакта через границу раздела. При последовательной податливости между конструктивной цепью манипулятора ($k_{\mathrm{robot}}$) и тканью человека или препятствием ($k_{\mathrm{tissue}}$): $$\frac{1}{k_{\mathrm{eff}}}=\frac{1}{k_{\mathrm{robot}}}+\frac{1}{k_{\mathrm{tissue}}}$$

Несмягченная упругая ударная сила

Для несмягченного столкновения со скоростью удара $v_{\max }$ начальная кинетическая энергия $E_k=\frac{1}{2}{m}_{\mathrm{eff}}{v}_{\max }^2$ полностью переходит в энергию упругой деформации $U_{\mathrm{elastic}}=\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{eff}}{\delta }_{\max }^2$ в точке максимального сжатия ($\dot{\delta }=0$). Сохранение энергии дает пиковую деформацию конструкции: $$\frac{1}{2}{m}_{\mathrm{eff}}{v}_{\max }^2=\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{eff}}{\delta }_{\max }^2⟹{\delta }_{\max }=v_{\max }\sqrt{\frac{m_{\mathrm{eff}}}{k_{\mathrm{eff}}}}$$ Результирующая пиковая переходная контактная сила $F_{\mathrm{peak}}=k_{\mathrm{eff}}{\delta }_{\max }$ вычисляется как: $$F_{\mathrm{peak}}=v_{\max }\sqrt{k_{\mathrm{eff}}{m}_{\mathrm{eff}}}$$ Это соотношение устанавливает, что пиковая ударная сила линейно масштабируется со скоростью и с квадратным корнем как движущейся массы, так и жесткости контакта. Даже скромные кинетические энергии (например, $17.5\text{ J}$), ударяющие жесткие биологические структуры ($k_{\mathrm{tissue}}\approx 15000\text{ N/m}$), порождают пиковые силы свыше $700\text{ N}$ — далеко за пределами ограничений безопасности совместной работы (таких как переходные пороги ISO/TS 15066).

Связанное контактное вдавливание с механическим торможением

Когда активные механические тормоза включаются с постоянным замедлением $a_{\mathrm{brake}}$ во время деформации, тормозная система совершает механическую работу $W_{\mathrm{brake}}=m_{\mathrm{eff}}{a}_{\mathrm{brake}}\delta$ на глубине вдавливания $\delta$. Связанный энергетический баланс принимает вид: $$\frac{1}{2}{m}_{\mathrm{eff}}{v}_{\mathrm{impact}}^2=\frac{1}{2}{k}_{\mathrm{eff}}{\delta }_{\max }^2+m_{\mathrm{eff}}{a}_{\mathrm{brake}}{\delta }_{\max }$$ Приведя к квадратичному виду: $${\delta }_{\max }^2+\frac{2m_{\mathrm{eff}}{a}_{\mathrm{brake}}}{k_{\mathrm{eff}}}{\delta }_{\max }-\frac{m_{\mathrm{eff}}{v}_{\mathrm{impact}}^2}{k_{\mathrm{eff}}}=0$$ Решая относительно физически допустимого положительного корня деформации: $${\delta }_{\max }=\sqrt{{\left(\frac{m_{\mathrm{eff}}{a}_{\mathrm{brake}}}{k_{\mathrm{eff}}}\right)}^2+\frac{m_{\mathrm{eff}}{v}_{\mathrm{impact}}^2}{k_{\mathrm{eff}}}}-\frac{m_{\mathrm{eff}}{a}_{\mathrm{brake}}}{k_{\mathrm{eff}}}$$ При $a_{\mathrm{brake}}=0$ это выражение гладко восстанавливает несмягченную деформацию ${\delta }_{\max }=v_{\mathrm{impact}}\sqrt{m_{\mathrm{eff}}/k_{\mathrm{eff}}}$. Поскольку длительность сжатия в четверть цикла $t_{\mathrm{peak}}=\frac{\pi }{2}\sqrt{m_{\mathrm{eff}}/k_{\mathrm{eff}}}$ типично порядка $20\text{–}50\text{ ms}$, реактивное торможение, запускаемое лишь после физического контакта, не может ослабить начальный пик силы, если задержка обнаружения датчиком и включения тормозов превышает $t_{\mathrm{peak}}$. Следовательно, кейсы безопасности не могут подменить реактивным послеударным торможением проверенные огибающие запаса хода разделения до удара ($d_{\mathrm{sep}}\ge d_{\mathrm{stop}}$).

Проскальзывание колеса и границы трения

Для колесных мобильных роботов и наземных платформ передача силы тяги между пятном контакта колеса и плоскостью земли управляется нелинейной динамикой проскальзывания. Коэффициент продольного проскальзывания $\lambda$ количественно описывает кинематическое несовпадение скоростей между окружной скоростью колеса $r\omega$ (радиус колеса $r$, угловая скорость $\omega$) и продольной скоростью машины $v_x$ вперед: $$\lambda =\{\begin{array}{ll}\frac{r\omega -v_x}{v_x},& \text{under acceleration }(r\omega >v_x,v_x>0)\\ \frac{r\omega -v_x}{r\omega },& \text{under braking }(r\omega <v_x,r\omega >0)\end{array}$$ Нормированная форма, часто реализуемая в цифровом управлении тягой, избегает сингулярностей знаменателя через: $$\lambda =\frac{r\omega -v_x}{\max (|v_x|,|r\omega |,{ϵ}_{\text{reg}})}\in [-1,1]$$ где $\lambda =0$ соответствует чистому качению без проскальзывания, $\lambda =1$ — полной пробуксовке ведущего колеса ($v_x=0,\omega >0$), а $\lambda =-1$ — полной блокировке колеса ($r\omega =0,v_x>0$).

Сила тяги $F_x$ масштабируется с нормальной контактной нагрузкой $F_z$ через коэффициент продольного трения ${\mu }_x(\lambda )$: $$F_x(\lambda )={\mu }_x(\lambda )F_z$$ При малых коэффициентах проскальзывания ($|\lambda |<{\lambda }_{\text{peak}}\approx 0.10\text{–}0.15$) резина шины или протектора сдвигается упруго, и сила тяги приблизительно линейна по проскальзыванию: $F_x\approx C_x\lambda$ с продольной жесткостью тяги $C_x$. За ${\lambda }_{\text{peak}}$ сцепление схлопывается в грубое трение скольжения: наклон $d{\mu }_x/d\lambda$ становится отрицательным, делая разомкнутое управление моментом неустойчивым. Если не обоснованная физикой политика командует момент двигателя привода, превышающий пиковую тягу ($F_{\text{cmd}}>{\mu }_{\text{peak}}{F}_z$), колесо быстро разгоняется в неустойчивый режим проскальзывания ($d\omega /dt=(\tau -r{F}_x)/I_{\text{wheel}}>0$). Это вызывает пробуксовку, сильное возмущение угловой скорости рыскания или утрату полномочий бокового управления — киберфизический разрыв, который нельзя обнаружить метриками направленного согласия или косинусного сходства, оценивающими лишь углы векторов и игнорирующими величину управления.

Распространение ковариации и наблюдаемость

Когда датчики теряют прямую видимость или подвергаются окклюзии средой, внутренние оценщики состояния должны проецировать физическое состояние вперед по времени. Количественная оценка того, как быстро деградирует уверенность оценки на слепых интервалах, требует анализа непрерывной динамики ковариации ошибки и наблюдаемости систем.

Непрерывная динамика ковариации Ляпунова и Риккати

Рассмотрим линейную динамическую систему непрерывного времени, описываемую: $$\dot{\mathbf{x}}(t)=\mathbf{Ax}(t)+\mathbf{Bu}(t)+\mathbf{w}(t)$$ $$\mathbf{y}(t)=\mathbf{Cx}(t)+\mathbf{v}(t)$$ Для непрерывной модели белого шума $\mathbf{Q}$ и $\mathbf{R}$ — интенсивности шума процесса и измерений с ковариационными ядрами $E[\mathbf{w}(t)\mathbf{w}(s{)}^{\top }]=\mathbf{Q}\delta (t-s)$ и $E[\mathbf{v}(t)\mathbf{v}(s{)}^{\top }]=\mathbf{R}\delta (t-s)$. Модель предполагает надлежащую независимость и $\mathbf{R}\succ 0$.

При оптимальном оценщике непрерывного времени (фильтре Калмана–Бюси Kalman, 1960) матрица ковариации ошибки $\mathbf{P}(t)=\mathbb{E}[(\mathbf{x}-\hat{\mathbf{x}})(\mathbf{x}-\hat{\mathbf{x}}{)}^{\top }]$ эволюционирует в соответствии с непрерывным матричным дифференциальным уравнением Риккати:⁵ $$\dot{\mathbf{P}}(t)=\mathbf{AP}(t)+\mathbf{P}(t){\mathbf{A}}^{\top }+\mathbf{Q}-\mathbf{P}(t){\mathbf{C}}^{\top }{\mathbf{R}}^{-1}\mathbf{CP}(t)$$

Когда прямое наблюдение окклюдировано или потеряно ($\mathbf{C}=0$), измерительный корректирующий член обращается в нуль. Рост ковариации схлопывается к разомкнутому контуру непрерывного дифференциального уравнения Ляпунова: $$\dot{\mathbf{P}}(t)=\mathbf{AP}(t)+\mathbf{P}(t){\mathbf{A}}^{\top }+\mathbf{Q}$$ Решение распространяет начальную неопределенность и накопленную $\mathbf{Q}$ через $e^{\mathbf{A}t}$. Неустойчивые моды могут расти экспоненциально; случайное блуждание с $\mathbf{A}=0$ растет линейно по ковариации. Запись памяти состояний должна нести откалиброванную модель роста и прекращать разрешение на слежение до того, как ее заявленная граница ошибки пересечет физический допуск. Одна ковариация не является жесткой огибающей ошибки, если ее хвост и модельные предположения не обоснованы.

Замкнутая форма разложения ковариации двойного интегратора

Рассмотрим одномерную кинематическую систему двойного интегратора, моделирующую положение $p(t)$ и скорость $v(t)$ при неизмеренном стохастическом шуме ускорения $w(t)$: $$\left[\begin{array}{c}\dot{p}(t)\\ \dot{v}(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}p(t)\\ v(t)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]w(t)$$ где $w(t)$ — непрерывный белый шум процесса с нулевым средним и непрерывной спектральной плотностью мощности $q_c>0$, такой что $\mathbb{E}[w(t)w(s)]=q_c\delta (t-s)$. Здесь $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$, а матрица непрерывного шума процесса $\mathbf{Q}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& q_c\end{array}\right]$.

Матрица $\mathbf{A}$ нильпотентна, поэтому переход состояния $\mathbf{\Phi }(t)=e^{\mathbf{A}t}$ конечен: $$\mathbf{\Phi }(t)=\mathbf{I}+\mathbf{A}t=\left[\begin{array}{cc}1& t\\ 0& 1\end{array}\right]$$ В течение слепого окна окклюзии $t\in [0,\Delta t]$ без обновлений измерений ($\mathbf{C}=0$) полная ковариация состояния $\mathbf{P}(t)$ эволюционирует как сумма неуправляемого однородного распространения и накопленной диффузии процесса: $$\mathbf{P}(t)=\mathbf{\Phi }(t){\mathbf{P}}_0\mathbf{\Phi }(t{)}^{\top }+{\int }_0^t\mathbf{\Phi }(t-\tau )\mathbf{Q\Phi }(t-\tau {)}^{\top }d\tau$$ Пусть начальная ковариация состояния в момент потери датчика ($t=0$) равна: $${\mathbf{P}}_0=\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_{p,0}^2& {\sigma }_{pv,0}\\ {\sigma }_{pv,0}& {\sigma }_{v,0}^2\end{array}\right]$$ Однородный член распространения вычисляется как: $$\mathbf{\Phi }(t){\mathbf{P}}_0\mathbf{\Phi }(t{)}^{\top }=\left[\begin{array}{cc}1& t\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_{p,0}^2& {\sigma }_{pv,0}\\ {\sigma }_{pv,0}& {\sigma }_{v,0}^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ t& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_{p,0}^2+2{\sigma }_{pv,0}t+{\sigma }_{v,0}^2{t}^2& {\sigma }_{pv,0}+{\sigma }_{v,0}^{2}t\\ {\sigma }_{pv,0}+{\sigma }_{v,0}^{2}t& {\sigma }_{v,0}^2\end{array}\right]$$ Накопленный стохастический диффузионный член интегрируется по истекшему времени: $${\mathbf{Q}}_d(t)={\int }_0^t\left[\begin{array}{cc}1& t-\tau \\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& q_c\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ t-\tau & 1\end{array}\right]d\tau ={\int }_0^t\left[\begin{array}{cc}{q}_c(t-\tau {)}^2& q_c(t-\tau )\\ q_c(t-\tau )& q_c\end{array}\right]d\tau =\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3}{q}_c{t}^3& \frac{1}{2}{q}_c{t}^2\\ \frac{1}{2}{q}_c{t}^2& q_{c}t\end{array}\right]$$ Суммирование однородного и стохастического вкладов дает дисперсию положения в замкнутой форме ${\sigma }_p^2(t)={\mathbf{P}}_{11}(t)$: $${\sigma }_p^2(t)={\sigma }_{p,0}^2+2{\sigma }_{pv,0}t+{\sigma }_{v,0}^2{t}^2+\frac{1}{3}{q}_c{t}^3$$ Этот вывод объясняет различные физические режимы ошибки во время окклюзии датчика: начальная неопределенность скорости ${\sigma }_{v,0}^2$ индуцирует квадратичный рост ошибки по времени ($t^2$), тогда как непрерывные стохастические возмущения $q_c$ (такие как воздушные потоки или несмоделированный дребезг силовой передачи) вносят кубический рост неопределенности ($\frac{1}{3}{q}_c{t}^3$). На длинных слепых интервалах кубическое слагаемое доминирует, быстро исчерпывая запасы безопасности, если движение не снижается или не останавливается.

Ранг наблюдаемости и обобщения через производные Ли

Линейная система наблюдаема на $[0,T]$, если ее начальное состояние может быть однозначно восстановлено по выходам и известным входам. Для линейной стационарной пары $(\mathbf{A},\mathbf{C})$ матрица наблюдаемости имеет полный столбцовый ранг $n$ тогда и только тогда, когда состояние наблюдаемо: $$\mathcal{O}=\left[\begin{array}{c}\mathbf{C}\\ \mathbf{CA}\\ ⋮\\ \mathbf{C}{\mathbf{A}}^{n-1}\end{array}\right],\text{rank}(\mathcal{O})=n$$ Для гладкой автономной нелинейной системы $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})$, $\mathbf{y}=\mathbf{h}(\mathbf{x})$ локальный тест ранга строит кодистрибуцию из дифференциалов последовательных производных Ли $d{L}_{\mathbf{f}}^k\mathbf{h}(\mathbf{x})$, пока ее ранг не перестает расти.⁶ Полный локальный ранг $n$ является достаточным условием локальной слабой наблюдаемости при ее предположениях регулярности; конечное усечение на $n-1$ не является универсально достаточным.

Если $\mathrm{rank}(\mathcal{O})<n$, $\ker (\mathcal{O})$ содержит разности начальных состояний, порождающие идентичные идеальные выходы. Обновления измерений не могут разрешить эти направления по этой модели датчика, хотя конкретный коэффициент Калмана не обязан содержать буквальные нулевые элементы. Оценщик должен обнажать такие ненаблюдаемые компоненты и поддерживать независимую границу роста либо ограничивать задачу.

Динамика центра масс и управление плавающим основанием

Шагающие роботы и динамические гуманоиды фундаментально отличаются от манипуляторов с фиксированным основанием: они обладают недоактуированным плавающим основанием с шестью степенями свободы, которым нельзя командовать напрямую двигателями. Робот может двигать свой центр масс (CoM) и менять пространственную ориентацию лишь обмениваясь контактными силами со средой через стопы или кисти.

Уравнения движения плавающего основания

Пусть $\mathbf{q}=[{\mathbf{q}}_b^{\top },{\mathbf{q}}_j^{\top }{]}^{\top }\in SE(3)\times {\mathbb{R}}^n$ представляет обобщенные координаты, где ${\mathbf{q}}_b\in SE(3)$ — поза плавающего основания, а ${\mathbf{q}}_j\in {\mathbb{R}}^n$ — углы приводимых шарниров. Уравнения движения имеют вид Siciliano et al., 2009: $$\mathbf{M}(\mathbf{q})\ddot{\mathbf{q}}+\mathbf{C}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})\dot{\mathbf{q}}+\mathbf{g}(\mathbf{q})={\mathbf{S}}^{\top }\mathbf{\tau }+\sum _{k=1}^{N_c}{\mathbf{J}}_k(\mathbf{q}{)}^{\top }{\mathbf{f}}_k$$ где $\mathbf{S}=[0_{n\times 6},{\mathbf{I}}_{n\times n}]$ — матрица отбора исполнения, отделяющая 6 неактуируемых координат плавающего основания от $n$ приводимых шарниров, а ${\mathbf{J}}_k(\mathbf{q})=\partial {\mathbf{p}}_k/\partial \mathbf{q}\in {\mathbb{R}}^{3\times (n+6)}$ — якобиан контактной точки для контактной нагрузки ${\mathbf{f}}_k$.

Динамика импульса центра масс

Проецирование динамики плавающего основания на центр масс робота $\mathbf{c}\in {\mathbb{R}}^3$ дает уравнения импульса центра масс Ньютона–Эйлера Lynch and Park, 2017: $${\dot{\mathbf{h}}}_{\text{lin}}=m\ddot{\mathbf{c}}=\sum _{k=1}^{N_c}{\mathbf{f}}_k+m\mathbf{g}$$ $${\dot{\mathbf{h}}}_{\text{ang}}=\sum _{k=1}^{N_c}\left[({\mathbf{p}}_k-\mathbf{c})\times {\mathbf{f}}_k+{\mathbf{\tau }}_k\right]$$ где ${\mathbf{h}}_{\text{lin}}\in {\mathbb{R}}^3$ — линейный импульс, ${\mathbf{h}}_{\text{ang}}\in {\mathbb{R}}^3$ — момент импульса относительно центра масс, а $({\mathbf{p}}_k,{\mathbf{f}}_k,{\mathbf{\tau }}_k)$ — положение, сила и момент в каждом активном пятне контакта.⁷

Физические ограничения допустимости контакта

Поскольку среда не может тянуть робота, а контактные поверхности обладают конечным трением, допустимые контактные нагрузки должны удовлетворять трем физическим инвариантам:

1. Односторонняя нормальная сила: стопы могут лишь отталкивать землю: $$f_{k,\perp }={\mathbf{f}}_k^{\top }{\hat{\mathbf{n}}}_k\ge 0$$
2. Конус трения Кулона: тангенциальные касательные силы не могут превышать нормальную тягу: $$\Vert {\mathbf{f}}_{k,\parallel }\Vert =\Vert {\mathbf{f}}_k-f_{k,\perp }{\hat{\mathbf{n}}}_k\Vert \le \mu f_{k,\perp }$$
3. Условие опоры для компланарных контактов: при допущениях плоской земли точка нулевого момента (ZMP) должна оставаться внутри эффективного опорного многоугольника с врезкой по конкретному случаю:⁸ $${\mathbf{p}}_{\text{ZMP}}\in {\mathcal{P}}_{\mathrm{support}},{\mathcal{P}}_{\mathrm{support}}=\mathrm{Conv}\left(\bigcup _k{\mathcal{A}}_k\right),$$ где ${\mathcal{A}}_k$ — каждое активное пятно контакта, спроецированное на эту плоскость.